int_{8}^{18} frac{1}{(x+2) sqrt{x-3}} , dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{8}^{18} \frac{1}{(x+2) \sqrt{x-3}} \, dx$. $t = \sqrt{x-3}$ प्रतिस्थापित करने पर, $t^2 = x-3$, जिससे $x = t^2+3$ और $dx = 2t \, dt

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{6 \sqrt{5}}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{8}^{18} \frac{1}{(x+2) \sqrt{x-3}} \, dx$. $t = \sqrt{x-3}$ प्रतिस्थापित करने पर, $t^2 = x-3$, जिससे $x = t^2+3$ और $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 8$, तब $t = \sqrt{8-3} = \sqrt{5}$. जब $x = 18$, तब $t = \sqrt{18-3} = \sqrt{15}$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int_{\sqrt{5}}^{\sqrt{15}} \frac{2t \, dt}{(t^2+3+2)t} = \int_{\sqrt{5}}^{\sqrt{15}} \frac{2 \, dt}{t^2+5}$. सूत्र $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर: $I = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{5}} 	an^{-1}(\frac{t}{\sqrt{5}}) ight]_{\sqrt{5}}^{\sqrt{15}}$. $I = \frac{2}{\sqrt{5}} \left[ 	an^{-1}(\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}) - 	an^{-1}(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}) ight]$. $I = \frac{2}{\sqrt{5}} \left[ 	an^{-1}(\sqrt{3}) - 	an^{-1}(1) ight]$. $I = \frac{2}{\sqrt{5}} \left[ \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} ight] = \frac{2}{\sqrt{5}} \left[ \frac{\pi}{12} ight] = \frac{\pi}{6 \sqrt{5}}$.

$\int_{8}^{18} \frac{1}{(x+2) \sqrt{x-3}} \, dx = $

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यदि $\alpha = \int_0^1 \left(e^{9x + 3 \tan^{-1} x}\right) \left(\frac{12 + 9x^2}{1 + x^2}\right) dx$,जहाँ $\tan^{-1} x$ केवल मुख्य मान लेता है,तो $\left(\log_e |1 + \alpha| - \frac{3\pi}{4}\right)$ का मान है

$\int_1^{e^2} \frac{dx}{x(1 + \ln x)^2}$ का मान है

$\int_0^{\pi /4} \frac{\sec^2 x}{(1 + \tan x)(2 + \tan x)} \,dx = $

$\int_{\frac{2}{e}}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{x(\log x)^{\frac{1}{3}}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi / 4} \frac{\sec x}{3 \cos x+4 \sin x} d x=$

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