int_0^{frac{pi}{4}} frac{sec x}{1+2 sin ^2 x} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\sec x}{1+2 \sin ^2 x} d x$. અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ગુણતા: $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos x}{\cos ^2 x(1

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{3} \log (\sqrt{2}+1)+\frac{\pi \sqrt{2}}{12}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\sec x}{1+2 \sin ^2 x} d x$. અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ગુણતા: $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos x}{\cos ^2 x(1+2 \sin ^2 x)} d x = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos x}{(1-\sin ^2 x)(1+2 \sin ^2 x)} d x$. ધારો કે $\sin x = t$, તેથી $\cos x d x = d t$. જ્યારે $x = 0, t = 0$. જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}, t = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $I = \int_0^{1 / \sqrt{2}} \frac{d t}{(1-t^2)(1+2 t^2)}$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(1-t^2)(1+2 t^2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1-t^2} + \frac{2}{1+2 t^2} ight)$. $I = \frac{1}{3} \int_0^{1 / \sqrt{2}} \left( \frac{1}{1-t^2} + \frac{2}{1+2 t^2} ight) d t$. $I = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+t}{1-t} ight| + \frac{2}{\sqrt{2}} 	an ^{-1} (\sqrt{2} t) ight]_0^{1 / \sqrt{2}}$. $I = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+1/\sqrt{2}}{1-1/\sqrt{2}} ight) + \sqrt{2} 	an ^{-1} (1) ight]$. $I = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} \log \left( \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} ight) + \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4} ight]$. કારણ કે $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = (\sqrt{2}+1)^2$, તેથી $\log (\sqrt{2}+1)^2 = 2 \log (\sqrt{2}+1)$. $I = \frac{1}{3} \left[ \log (\sqrt{2}+1) + \frac{\pi \sqrt{2}}{4} ight] = \frac{1}{3} \log (\sqrt{2}+1) + \frac{\pi \sqrt{2}}{12}$.

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec x}{1+2 \sin ^2 x} d x=$

Similar Questions

ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને $4$ સમાન અંતરાલો સાથે $\int_{1}^{9} x^2 dx$ નું આશરે મૂલ્ય કેટલું થાય?

$\int_0^1 \tan^{-1} x \, dx =$

$\int_0^{2 \pi} \sqrt{1+\sin \left(\frac{x}{2}\right)} d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^3 \sin x \, dx =$

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & x \le \pi/2 \\ \frac{b(1-\sin x)}{(\pi-2x)^2}, & x > \pi/2 \end{cases}$. જો $f$ એ $x = \pi/2$ આગળ સતત હોય, તો $\int_0^{3b-6} |x^2+2x-3| dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module