$\int_5^9 \frac{\log_3 x^2}{\log_3 x^2 + \log_3(588 - 84x + 3x^2)} dx =$

मान लीजिए $I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 3} \frac{\sin x}{x} dx$. तो

यदि $(a, b)$ उस त्रिभुज का लंबकेंद्र है जिसके शीर्ष $(1, 2), (2, 3)$ और $(3, 1)$ हैं,और $I_1 = \int_{a}^{b} x \sin(4x - x^2) dx$,$I_2 = \int_{a}^{b} \sin(4x - x^2) dx$ है,तो $36 \frac{I_1}{I_2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}$ द्वारा परिभाषित है और $M=\int_{f(a)}^{f(1-a)} x \sin^4(x(1-x)) dx,$ $N=\int_{f(a)}^{f(1-a)} \sin^4(x(1-x)) dx;$ $a \neq \frac{1}{2}.$ यदि $\alpha M=\beta N,$ $\alpha, \beta \in N,$ तो $\alpha^2+\beta^2$ का न्यूनतम मान $.....$ है।

$\int_{-\pi/6}^{\pi/6} \left( \frac{\pi + 4x^{11}}{1 - \sin(|x| + \pi/6)} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए: ($\pi$ में)