$\int_{-1}^{\frac{3}{2}}|x \sin (\pi x)| d x=$

यदि $0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए $f(x) = \int\limits_0^\pi {\frac{t \sin t \, dt}{\sqrt{1 + \tan^2 x \sin^2 t}}}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$\int_0^\pi \sin^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $T > 0$ एक निश्चित संख्या है। मान लीजिए $f$ एक सतत फलन है ताकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x + T) = f(x)$ हो। यदि $I = \int_{0}^{T} f(x) dx$ है,तो $\int_{3}^{3 + 3T} f(2x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right) d x=$

मान लीजिए $f: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, 1]$ एक फलन है जो $f(x) = \sin^2 x$ द्वारा परिभाषित है और मान लीजिए $g: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, \infty)$ एक फलन है जो $g(x) = \sqrt{\frac{\pi x}{2} - x^2}$ द्वारा परिभाषित है।
(इस अनुच्छेद पर आधारित दो प्रश्न हैं। नीचे दिए गए प्रश्न वे दो हैं।)
$(1)$ $2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$(2)$ $\frac{16}{\pi^3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।