यदि 0

Question

(C) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^\pi \frac{t \sin t}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2 t}} \, dt$. गुणधर्म $\int_0^a f(t) \, dt = \int_0^a f(a-t) \, dt$

Vedclass · Accepted Answer

$f$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में सतत और अवकलनीय है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^\pi \frac{t \sin t}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2 t}} \, dt$. गुणधर्म $\int_0^a f(t) \, dt = \int_0^a f(a-t) \, dt$ का उपयोग करने पर,$f(x) = \int_0^\pi \frac{(\pi-t) \sin(\pi-t)}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2(\pi-t)}} \, dt = \int_0^\pi \frac{(\pi-t) \sin t}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2 t}} \, dt$. दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2f(x) = \pi \int_0^\pi \frac{\sin t}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2 t}} \, dt$. चूँकि समाकल्य $t = \frac{\pi}{2}$ के सापेक्ष सममित है,$f(x) = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sin t}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2 t}} \, dt$. मान लीजिए $y = \cos t$,तो $dy = -\sin t \, dt$. जब $t=0, y=1$; जब $t=\pi/2, y=0$. $f(x) = \pi \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{1 + 	an^2 x (1-y^2)}} = \pi \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{\sec^2 x - 	an^2 x \, y^2}} = \frac{\pi}{	an x} \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{\csc^2 x - y^2}}$. $f(x) = \frac{\pi}{	an x} [\sin^{-1}(\frac{y}{\csc x})]_0^1 = \frac{\pi}{	an x} \sin^{-1}(\sin x) = \frac{\pi x}{	an x}$. चूँकि $f(x) = \frac{\pi x}{	an x}$ अंतराल $(0, \pi/2)$ में अवकलनीय फलनों का संयोजन है,इसलिए $f$ अंतराल $(0, \pi/2)$ में सतत और अवकलनीय है।

यदि $0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए $f(x) = \int\limits_0^\pi {\frac{t \sin t \, dt}{\sqrt{1 + \tan^2 x \sin^2 t}}}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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$\int_{\sqrt{\ln 2}}^{\sqrt{\ln 3}} \frac{x \sin x^2}{\sin x^2 + \sin (\ln 6 - x^2)} dx$ का मान है

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