int_{sqrt{ln 2}}^{sqrt{ln 3}} frac{x sin x^2} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{\sqrt{\ln 2}}^{\sqrt{\ln 3}} \frac{x \sin x^2}{\sin x^2 + \sin (\ln 6 - x^2)} dx$ है।$x^2 = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$2x dx = dt$ य

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$\frac{1}{4} \ln \frac{3}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{\sqrt{\ln 2}}^{\sqrt{\ln 3}} \frac{x \sin x^2}{\sin x^2 + \sin (\ln 6 - x^2)} dx$ है।$x^2 = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$2x dx = dt$ या $x dx = \frac{1}{2} dt$ प्राप्त होता है।जब $x = \sqrt{\ln 2}$,तब $t = \ln 2$। जब $x = \sqrt{\ln 3}$,तब $t = \ln 3$।अतः समाकलन $I = \frac{1}{2} \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{\sin t}{\sin t + \sin (\ln 6 - t)} dt$ हो जाता है।गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(t) dt = \int_{a}^{b} f(a+b-t) dt$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{1}{2} \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{\sin (\ln 2 + \ln 3 - t)}{\sin (\ln 2 + \ln 3 - t) + \sin (\ln 6 - (\ln 2 + \ln 3 - t))} dt$ प्राप्त होता है।चूंकि $\ln 2 + \ln 3 = \ln 6$,यह $I = \frac{1}{2} \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{\sin (\ln 6 - t)}{\sin (\ln 6 - t) + \sin t} dt$ में सरल हो जाता है।दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:$2I = \frac{1}{2} \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{\sin t + \sin (\ln 6 - t)}{\sin t + \sin (\ln 6 - t)} dt = \frac{1}{2} \int_{\ln 2}^{\ln 3} 1 dt$।$2I = \frac{1}{2} [t]_{\ln 2}^{\ln 3} = \frac{1}{2} (\ln 3 - \ln 2) = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}$।अतः,$I = \frac{1}{4} \ln \frac{3}{2}$।

$\int_{\sqrt{\ln 2}}^{\sqrt{\ln 3}} \frac{x \sin x^2}{\sin x^2 + \sin (\ln 6 - x^2)} dx$ का मान है

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$\int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$,$I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} x g\{x(1 - x)\} dx$,और $I_2 = \int_{f(-a)}^{f(a)} g\{x(1 - x)\} dx$ है,तो $\frac{I_2}{I_1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\pi} \cos^3 x \, dx = $

$\int_0^{\pi /2} \frac{\cos x}{1 + \cos x + \sin x} \,dx = $

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