int_{0}^{pi} cos^3 x , dx = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} \cos^3 x \, dx$ है। गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{\pi} \

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$0$

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(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} \cos^3 x \, dx$ है। गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{\pi} \cos^3(\pi - x) \, dx$। चूँकि $\cos(\pi - x) = -\cos x$,इसलिए $\cos^3(\pi - x) = -\cos^3 x$। अतः,$I = \int_{0}^{\pi} -\cos^3 x \, dx = -I$। $2I = 0 \implies I = 0$। वैकल्पिक रूप से,गुणधर्म $\int_{0}^{2a} f(x) \, dx = 0$ का उपयोग करने पर यदि $f(2a-x) = -f(x)$ हो,यहाँ $f(x) = \cos^3 x$ और $2a = \pi$ है,इसलिए $f(\pi - x) = -f(x)$,अतः समाकलन का मान $0$ है।

$\int_{0}^{\pi} \cos^3 x \, dx = $

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