જો 0

Question

(C) આપેલ છે $f(x) = \int\limits_0^\pi \frac{t \sin t}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2 t}} \, dt$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(t) \, dt = \int_0^a f(a-t) \, dt$ નો ઉ

Vedclass · Accepted Answer

$f$ એ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માં સતત અને વિકલનીય છે

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે $f(x) = \int\limits_0^\pi \frac{t \sin t}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2 t}} \, dt$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(t) \, dt = \int_0^a f(a-t) \, dt$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \int_0^\pi \frac{(\pi-t) \sin(\pi-t)}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2(\pi-t)}} \, dt = \int_0^\pi \frac{(\pi-t) \sin t}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2 t}} \, dt$. બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $2f(x) = \pi \int_0^\pi \frac{\sin t}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2 t}} \, dt$. સંકલિત $t = \frac{\pi}{2}$ ની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,$f(x) = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sin t}{\sqrt{1 + 	an^2 x \sin^2 t}} \, dt$. ધારો કે $y = \cos t$,તો $dy = -\sin t \, dt$. જ્યારે $t=0, y=1$; જ્યારે $t=\pi/2, y=0$. $f(x) = \pi \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{1 + 	an^2 x (1-y^2)}} = \pi \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{\sec^2 x - 	an^2 x \, y^2}} = \frac{\pi}{	an x} \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{\csc^2 x - y^2}}$. $f(x) = \frac{\pi}{	an x} [\sin^{-1}(\frac{y}{\csc x})]_0^1 = \frac{\pi}{	an x} \sin^{-1}(\sin x) = \frac{\pi x}{	an x}$. $f(x) = \frac{\pi x}{	an x}$ એ $(0, \pi/2)$ માં વિકલનીય વિધેયોનું સંયોજન હોવાથી,$f$ એ $(0, \pi/2)$ માં સતત અને વિકલનીય છે.

જો $0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે $f(x) = \int\limits_0^\pi {\frac{t \sin t \, dt}{\sqrt{1 + \tan^2 x \sin^2 t}}}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

Similar Questions

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} \frac{x}{1+\sin x} \,d x=$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{-7}^{7} \frac{5^x}{5^{[x]}} dx$ નું મૂલ્ય શોધો (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે).

સંકલન $\int_{-2}^{2} \frac{\sin^2 x}{[\frac{x}{\pi}] + \frac{1}{2}} \, dx$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે).

જો $M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ અને $N = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$ હોય, તો $M-N$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module