$\operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{\pi}{2}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \left\{ 4 + \left( 2 + \frac{1}{n} \right)^2 + \left( 2 + \frac{2}{n} \right)^2 + \dots + \left( 3 - \frac{1}{n} \right)^2 \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n}\sin \left( \frac{1}{n} \right)\left( \cos \left( \frac{1}{n} \right) \right)^2 + \frac{1}{n}\sin \left( \frac{2}{n} \right)\left( \cos \left( \frac{2}{n} \right) \right)^2 + \dots + \frac{1}{n}(\sin 1)(\cos 1)^2 \right]$ का मान क्या है?

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1^2}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=$

यदि $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{1^a} + {2^a} + \dots + {n^a}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{a - 1}}\left[ {\left( {na + 1} \right) + \dots + \left( {na + n} \right)} \right]}} = \frac{1}{{60}}$ किसी धनात्मक वास्तविक संख्या $a$ के लिए है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2} = $