$[(a \times b) \times (b \times c), (b \times c) \times (c \times a), (c \times a) \times (a \times b)] = \,$

જો $a, b,$ અને $c$ એકમ સમતલીય સદિશો હોય,તો અદિશ ત્રિગુણક $[a, b, c]$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય સદિશો હોય,તો $\frac{\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})}{\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})} + \frac{\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})}{\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})} = \dots$

ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે જેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = \cos \theta$ થાય. તો $\theta$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો,જ્યાં $\theta \in [0, \pi]$.

$(\vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}) \cdot \{(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}-\vec{c})\} =$

જો $x, y$ અને $z$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}, \vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ એવા હોય કે જેથી $\vec{a} \times \vec{b}=z \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ થાય, તો $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ ની કિંમત શોધો.