i+j+3k और i+3j+k के साथ समतलीय और i+j+k के लं | vedclass

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Question

(C) माना इकाई सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।माना $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{\sqrt{2}}(j-k)$

Vedclass · Answer

(C) माना इकाई सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।माना $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$, और $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।चूंकि $\vec{r}$, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय है, इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{r}, \vec{a}, \vec{b}] = 0$ होगा।$\left|\begin{matrix} x & y & z \ 1 & 1 & 3 \ 1 & 3 & 1 \end{matrix}ight| = 0 \Rightarrow x(1-9) - y(1-3) + z(3-1) = 0 \Rightarrow -8x + 2y + 2z = 0 \Rightarrow -4x + y + z = 0$ $(i)$.चूंकि $\vec{r}$, $\vec{c}$ के लंबवत है, इसलिए $\vec{r} \cdot \vec{c} = 0$ होगा।$x + y + z = 0$ (ii).(ii) में से $(i)$ घटाने पर: $(x + y + z) - (-4x + y + z) = 0 \Rightarrow 5x = 0 \Rightarrow x = 0$.(ii) में $x=0$ रखने पर, हमें $y + z = 0 \Rightarrow y = -z$ प्राप्त होता है।चूंकि $\vec{r}$ एक इकाई सदिश है, इसलिए $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.$0^2 + y^2 + (-y)^2 = 1 \Rightarrow 2y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.यदि $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$, तो $z = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. यदि $y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, तो $z = \frac{1}{\sqrt{2}}$.अतः, $\vec{r} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} - \hat{k})$. विकल्प $(C)$ $\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} - \hat{k})$ है।

$i+j+3k$ और $i+3j+k$ के साथ समतलीय और $i+j+k$ के लंबवत एक इकाई सदिश है

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