rho_{1} घनत्व वाली एक ठोस गोलाकार गेंद और rho | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए कि दोनों गोलों का द्रव्यमान $M$ है। ठोस गोले के लिए: $M = \rho_{1} \frac{4}{3} \pi R^{3}$.आंतरिक त्रिज्या $r$ वाले खोखले गोले के लिए: $M

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$\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}\left[1-\left(1-\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}\right)^{\frac{5}{3}}\right]$

Vedclass · Answer

(D) मान लीजिए कि दोनों गोलों का द्रव्यमान $M$ है। ठोस गोले के लिए: $M = \rho_{1} \frac{4}{3} \pi R^{3}$.आंतरिक त्रिज्या $r$ वाले खोखले गोले के लिए: $M = \rho_{2} \frac{4}{3} \pi (R^{3} - r^{3})$.द्रव्यमानों की तुलना करने पर: $\rho_{1} R^{3} = \rho_{2} (R^{3} - r^{3})$.इससे $\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} = 1 - \frac{r^{3}}{R^{3}}$ प्राप्त होता है, इसलिए $\frac{r^{3}}{R^{3}} = 1 - \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}$, जिसका अर्थ है कि $\frac{r}{R} = (1 - \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}})^{1/3}$.ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I_{S} = \frac{2}{5} M R^{2}$ है।खोखले गोले का जड़त्व आघूर्ण $I_{H} = \frac{2}{5} M \frac{R^{5} - r^{5}}{R^{3} - r^{3}}$ है।$M = \rho_{2} \frac{4}{3} \pi (R^{3} - r^{3})$ का उपयोग करने पर, हमें $I_{H} = \frac{2}{5} (\rho_{2} \frac{4}{3} \pi (R^{3} - r^{3})) \frac{R^{5} - r^{5}}{R^{3} - r^{3}} = \frac{2}{5} \rho_{2} \frac{4}{3} \pi (R^{5} - r^{5})$ प्राप्त होता है।चूंकि $M = \rho_{1} \frac{4}{3} \pi R^{3}$ है, हमारे पास $I_{S} = \frac{2}{5} (\rho_{1} \frac{4}{3} \pi R^{3}) R^{2} = \frac{2}{5} \rho_{1} \frac{4}{3} \pi R^{5}$ है।अतः, $\frac{I_{H}}{I_{S}} = \frac{\rho_{2} (R^{5} - r^{5})}{\rho_{1} R^{5}} = \frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} [1 - (\frac{r}{R})^{5}]$.$\frac{r}{R} = (1 - \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}})^{1/3}$ रखने पर, हमें $\frac{I_{H}}{I_{S}} = \frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} [1 - (1 - \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}})^{5/3}]$ प्राप्त होता है।

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