$^{15}C_3 + ^{15}C_5 + \ldots + ^{15}C_{15} = ?$

माना $X = 1({ }^{10} C _1)^2 + 2({ }^{10} C _2)^2 + 3({ }^{10} C _3)^2 + \ldots + 10({ }^{10} C _{10})^2$,जहाँ ${ }^{10} C _{ r }$ जहाँ $r \in \{1, 2, \ldots, 10\}$ द्विपद गुणांकों को दर्शाता है। तो,$\frac{1}{1430} X$ का मान है:

यदि ${S_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{1}{{^n{C_r}}}} $ और ${t_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{r}{{^n{C_r}}}} $ है,तो $\frac{{{t_n}}}{{{S_n}}}$ का मान क्या होगा?

यदि $(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$ है,तो $a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n} =$

यदि $1^2 \cdot \binom{15}{1} + 2^2 \cdot \binom{15}{2} + 3^2 \cdot \binom{15}{3} + \ldots + 15^2 \cdot \binom{15}{15} = 2^m \cdot 3^n \cdot 5^k$,जहाँ $m, n, k \in N$,तो $m + n + k$ का मान है :-

$\mathop \sum \limits_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$ का मान ज्ञात कीजिए।