माना X = 1({ }^{10} C _1)^2 + 2({ }^{10} C _2 | vedclass

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Question

(D) दी गई अभिव्यक्ति $X = \sum_{r=1}^{10} r \left({ }^{10} C_r\right)^2$ है।गुणधर्म ${ }^{n} C_r = { }^{n} C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,$X = \sum_{r=1}^

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$646$

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(D) दी गई अभिव्यक्ति $X = \sum_{r=1}^{10} r \left({ }^{10} C_right)^2$ है।गुणधर्म ${ }^{n} C_r = { }^{n} C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,$X = \sum_{r=1}^{10} (10-r) \left({ }^{10} C_{10-r}ight)^2 = \sum_{r=0}^{9} (10-r) \left({ }^{10} C_right)^2$ है।$X$ के दोनों रूपों को जोड़ने पर:$2X = \sum_{r=1}^{10} r \left({ }^{10} C_right)^2 + \sum_{r=0}^{9} (10-r) \left({ }^{10} C_right)^2 = 10 \sum_{r=0}^{10} \left({ }^{10} C_right)^2$ प्राप्त होता है।सर्वसमिका $\sum_{r=0}^{n} ({ }^{n} C_r)^2 = { }^{2n} C_n$ का उपयोग करते हुए,$2X = 10 \cdot { }^{20} C_{10}$ मिलता है।अतः,$X = 5 \cdot { }^{20} C_{10}$ है।चूंकि ${ }^{20} C_{10} = 184756$,इसलिए $X = 5 	imes 184756 = 923780$ है।अंत में,$\frac{X}{1430} = \frac{923780}{1430} = 646$।

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यदि $26 \left( \frac{2}{3} \binom{12}{2} + \frac{2}{5} \binom{12}{4} + \frac{2}{7} \binom{12}{6} + \dots + \frac{2}{13} \binom{12}{12} \right) = 3^{13} - \alpha$ है, तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $(1 + x)^m = C_0 + C_1x + C_2x^2 + C_3x^3 + . . . + C_mx^m$,जहाँ $C_r = {}^mC_r$ और $A = C_1C_3 + C_2C_4 + C_3C_5 + . . . + C_{m-2}C_m$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा असत्य है?

यदि ${C_0}, {C_1}, {C_2}, ......., {C_n}$ द्विपद गुणांक हैं,तो $2.{C_1} + {2^3}.{C_3} + {2^5}.{C_5} + ....$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}} = \alpha \times 2^{29}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(1+x)^{59}$ के विस्तार में, जब $x$ की बढ़ती घातों में विस्तार किया जाता है, तो अंतिम $30$ गुणांकों का योग क्या है?

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