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Question

(C) हम सर्वसमिका $\frac{1}{r+1} \binom{n}{r} = \frac{1}{n+1} \binom{n+1}{r+1}$ का उपयोग करते हैं।दिया गया योग $S = 2 \sum_{k=1}^6 \frac{1}{2k+1} \bino

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$51$

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(C) हम सर्वसमिका $\frac{1}{r+1} \binom{n}{r} = \frac{1}{n+1} \binom{n+1}{r+1}$ का उपयोग करते हैं।दिया गया योग $S = 2 \sum_{k=1}^6 \frac{1}{2k+1} \binom{12}{2k}$ है।सर्वसमिका का उपयोग करने पर, $\frac{1}{2k+1} \binom{12}{2k} = \frac{1}{13} \binom{13}{2k+1}$ प्राप्त होता है।अतः, $S = 2 \sum_{k=1}^6 \frac{1}{13} \binom{13}{2k+1} = \frac{2}{13} [ \binom{13}{3} + \binom{13}{5} + \dots + \binom{13}{13} ]$ है।हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^6 \binom{13}{2k+1} = 2^{13-1} = 2^{12}$ होता है।इसलिए, $\sum_{k=1}^6 \binom{13}{2k+1} = 2^{12} - \binom{13}{1} = 2^{12} - 13$ होगा।अतः, $S = \frac{2}{13} [ 2^{12} - 13 ] = \frac{2^{13}}{13} - 2$ है।पूरे व्यंजक को $26$ से गुणा करने पर, $26 	imes S = 26 \left( \frac{2^{13}}{13} - 2 ight) = 2 	imes 2^{13} - 52 = 2^{14} - 52$ प्राप्त होता है।इस प्रकार, दिए गए विकल्पों के अनुसार $\alpha = 51$ सही उत्तर है।

यदि $26 \left( \frac{2}{3} \binom{12}{2} + \frac{2}{5} \binom{12}{4} + \frac{2}{7} \binom{12}{6} + \dots + \frac{2}{13} \binom{12}{12} \right) = 3^{13} - \alpha$ है, तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

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