योगफल sumlimits_{i = 0}^m {binom{10}{i}} {bin | vedclass

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Question

(B) दिया गया योगफल $\sum\limits_{i = 0}^m {\binom{10}{i}} {\binom{20}{m - i}}$ है।वेंडरमोंड की पहचान (Vandermonde's Identity) के अनुसार,यह योगफल $(1+x

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$15$

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(B) दिया गया योगफल $\sum\limits_{i = 0}^m {\binom{10}{i}} {\binom{20}{m - i}}$ है।वेंडरमोंड की पहचान (Vandermonde's Identity) के अनुसार,यह योगफल $(1+x)^{10} (1+x)^{20} = (1+x)^{30}$ के विस्तार में $x^m$ का गुणांक है।अतः,योगफल $\binom{30}{m}$ के बराबर है।हम जानते हैं कि $\binom{n}{m}$ तब अधिकतम होता है जब $n$ सम हो तो $m = \frac{n}{2}$,या यदि $n$ विषम हो तो $m = \frac{n-1}{2}$ और $m = \frac{n+1}{2}$।यहाँ,$n = 30$,जो कि एक सम संख्या है।इसलिए,योगफल $\binom{30}{m}$ तब अधिकतम होता है जब $m = \frac{30}{2} = 15$ हो।अतः,सही विकल्प $B$ है।

योगफल $\sum\limits_{i = 0}^m {\binom{10}{i}} {\binom{20}{m - i}}$,(जहाँ $\binom{p}{q} = 0$ यदि $p < q$),तब अधिकतम होता है जब $m$ है

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