श्रेणी frac{C_0}{2} - frac{C_1}{3} + frac{C_2 | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि $(1 - x)^n = C_0 - C_1x + C_2x^2 - C_3x^3 + \dots + (-1)^n C_n x^n$.दोनों तरफ $x$ से गुणा करने पर,$x(1 - x)^n = C_0x - C_1x^2 + C_

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$\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}$

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(C) हम जानते हैं कि $(1 - x)^n = C_0 - C_1x + C_2x^2 - C_3x^3 + \dots + (-1)^n C_n x^n$.दोनों तरफ $x$ से गुणा करने पर,$x(1 - x)^n = C_0x - C_1x^2 + C_2x^3 - C_3x^4 + \dots + (-1)^n C_n x^{n+1}$.दोनों तरफ $0$ से $1$ तक समाकलन (integration) करने पर:$\int_0^1 x(1 - x)^n dx = \int_0^1 (C_0x - C_1x^2 + C_2x^3 - C_3x^4 + \dots) dx$.$R$.$H$.$S$. पर,हमें $\left[ \frac{C_0x^2}{2} - \frac{C_1x^3}{3} + \frac{C_2x^4}{4} - \dots \right]_0^1 = \frac{C_0}{2} - \frac{C_1}{3} + \frac{C_2}{4} - \dots$ प्राप्त होता है।$L$.$H$.$S$. के लिए,$1 - x = t$ लें,तो $dx = -dt$. जब $x=0, t=1$ और जब $x=1, t=0$.$\int_1^0 (1 - t)t^n (-dt) = \int_0^1 (t^n - t^{n+1}) dt = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} - \frac{t^{n+2}}{n+2} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.अतः,योग $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ है।

श्रेणी $\frac{C_0}{2} - \frac{C_1}{3} + \frac{C_2}{4} - \frac{C_3}{5} + \dots$ के $(n + 1)$ पदों का योग क्या है?

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यदि $1^2 \cdot \binom{15}{1} + 2^2 \cdot \binom{15}{2} + 3^2 \cdot \binom{15}{3} + \ldots + 15^2 \cdot \binom{15}{15} = 2^m \cdot 3^n \cdot 5^k$,जहाँ $m, n, k \in N$,तो $m + n + k$ का मान है :-

यदि $(1 + x + x^2)^{25} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ..... + a_{50}x^{50}$ है,तो $a_0 + a_2 + a_4 + ..... + a_{50}$ है :

यदि $C_r = { }^n C_r$ है,तो $C_0 + C_4 + C_8 + C_{12} + \ldots$ का योग ज्ञात कीजिए।

$^{15}C_3 + ^{15}C_5 + \ldots + ^{15}C_{15} = ?$

यदि $(1+x)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n$ और $a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + \ldots = k \cos \frac{n \pi}{4}$ है,तो $k = $

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