यदि (1+x)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ldots + | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $(1+x)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots + a_n x^n$. विस्तार में $x = i$ रखने पर: $(1+i)^n = (a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + \ldot

Vedclass · Accepted Answer

$2^{\frac{n}{2}}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $(1+x)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots + a_n x^n$. विस्तार में $x = i$ रखने पर: $(1+i)^n = (a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + \ldots) + i(a_1 - a_3 + a_5 - a_7 + \ldots)$. $1+i$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करने पर: $1+i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$. डी-मोइवर प्रमेय का उपयोग करने पर: $(1+i)^n = [\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})]^n = 2^{\frac{n}{2}}(\cos \frac{n \pi}{4} + i \sin \frac{n \pi}{4})$. वास्तविक भागों की तुलना करने पर: $a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + \ldots = 2^{\frac{n}{2}} \cos \frac{n \pi}{4}$. इसे दिए गए व्यंजक $k \cos \frac{n \pi}{4}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 2^{\frac{n}{2}}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $D$ सही है।

यदि $(1+x)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n$ और $a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + \ldots = k \cos \frac{n \pi}{4}$ है,तो $k = $

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मान लीजिए कि $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ एक समांतर श्रेणी में हैं और $C_0, C_1, C_2, \ldots, C_n$ द्विपद गुणांक हैं। तो $\sum_{k=0}^n a_k \cdot C_k =$

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$\frac{C_0}{1} + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + .... + \frac{C_n}{n + 1} = $

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