frac{C_0}{1} + frac{C_1}{2} + frac{C_2}{3} + | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि $\frac{C_r}{r + 1} = \frac{1}{n + 1} \binom{n + 1}{r + 1}$ होता है।इस मान को दी गई अभिव्यक्ति में रखने पर:$\sum_{r=0}^{n} \frac{C_

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$\frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}$

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(C) हम जानते हैं कि $\frac{C_r}{r + 1} = \frac{1}{n + 1} \binom{n + 1}{r + 1}$ होता है।इस मान को दी गई अभिव्यक्ति में रखने पर:$\sum_{r=0}^{n} \frac{C_r}{r + 1} = \sum_{r=0}^{n} \frac{1}{n + 1} \binom{n + 1}{r + 1}$$= \frac{1}{n + 1} \sum_{r=0}^{n} \binom{n + 1}{r + 1}$माना $k = r + 1$ है। जैसे $r$,$0$ से $n$ तक जाता है,वैसे ही $k$,$1$ से $n + 1$ तक जाता है।$= \frac{1}{n + 1} \sum_{k=1}^{n + 1} \binom{n + 1}{k}$चूंकि $\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} = 2^m$ होता है,इसलिए $\sum_{k=1}^{m} \binom{m}{k} = 2^m - \binom{m}{0} = 2^m - 1$ होगा।यहाँ $m = n + 1$ है,इसलिए योग $2^{n + 1} - 1$ है।अतः,अभिव्यक्ति का मान $\frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}$ है।

$\frac{C_0}{1} + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + .... + \frac{C_n}{n + 1} = $

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