एक समतल निर्देशांक अक्षों को क्रमशः $A, B, C$ बिंदुओं पर इस प्रकार मिलता है कि $\triangle ABC$ का केंद्रक $(1, r, r^2)$ है, जहाँ $r$ एक वास्तविक संख्या है। यदि समतल बिंदु $(5, 5, -12)$ से होकर गुजरता है, तो $r=$

उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से $3 \sqrt{3}$ इकाई की दूरी पर है और जिसका अभिलंब निर्देशांक अक्षों के साथ समान झुकाव पर है।

समतलों $2x - y - 4 = 0$ और $y + 2z - 4 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले और बिंदु $(2, 1, 0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P(\lambda, 2, 1)$ उस समतल पर एक बिंदु है जो बिंदु $Q(4, -2, 2)$ से होकर गुजरता है। यदि समतल बिंदुओं $A(-2, -21, 29)$ और $B(-1, -16, 33)$ को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है,तो $\left(\frac{\lambda}{11}\right)^{2} - \frac{4\lambda}{11} - 4$ का मान ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि यदि एक समतल के अंतःखंड $a, b, c$ हैं और वह मूल बिंदु से $p$ इकाई की दूरी पर है,तो $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{p^{2}}$ होगा।

एक बिंदु इस प्रकार गति करता है कि बिंदुओं $(3, 4, -2)$ और $(2, 3, -3)$ से उसकी दूरियाँ समान रहती हैं। बिंदु का बिंदुपथ क्या है?