मान लीजिए P(lambda, 2, 1) उस समतल पर एक बिंदु | vedclass

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Question

(C) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ रेखाखंड $\vec{AB}$ के समांतर है।
$\vec{AB} = (-1 - (-2))\hat{i} + (-16 - (-21))\hat{j} + (33 - 29)\hat{k} = 1\hat{i

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$\frac{188}{121}$

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(C) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ रेखाखंड $\vec{AB}$ के समांतर है।
$\vec{AB} = (-1 - (-2))\hat{i} + (-16 - (-21))\hat{j} + (33 - 29)\hat{k} = 1\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
समतल बिंदु $Q(4, -2, 2)$ और $P(\lambda, 2, 1)$ से होकर गुजरता है। अतः,सदिश $\vec{PQ}$ समतल में स्थित है।
$\vec{PQ} = (4 - \lambda)\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (2 - 1)\hat{k} = (4 - \lambda)\hat{i} - 4\hat{j} + 1\hat{k}$.
चूंकि समतल रेखा $AB$ के लंबवत है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{AB}$ समतल के किसी भी सदिश के लंबवत होगा,जिसमें $\vec{PQ}$ भी शामिल है।
इसलिए,$\vec{AB} \cdot \vec{PQ} = 0$.
$(1\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot ((4 - \lambda)\hat{i} - 4\hat{j} + 1\hat{k}) = 0$.
$1(4 - \lambda) + 5(-4) + 4(1) = 0$.
$4 - \lambda - 20 + 4 = 0$.
$-\lambda - 12 = 0 \Rightarrow \lambda = -12$.
अब,व्यंजक $\left(\frac{\lambda}{11}\right)^{2} - \frac{4\lambda}{11} - 4$ की गणना करें।
$\lambda = -12$ प्रतिस्थापित करने पर: $\left(\frac{-12}{11}\right)^{2} - \frac{4(-12)}{11} - 4 = \frac{144}{121} + \frac{48}{11} - 4 = \frac{144 + 528 - 484}{121} = \frac{188}{121}$.

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