बिंदु $(3,1,1)$ से गुजरने वाला एक समतल दो रेखाओं को समाहित करता है जिनके दिशा अनुपात क्रमशः $1, -2, 2$ और $2, 3, -1$ हैं। यदि यह समतल बिंदु $(\alpha, -3, 5)$ से भी गुजरता है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक समतल बिंदु $(3, 5, 7)$ से होकर गुजरता है। यदि इसके अभिलंब के दिक अनुपात,समतल $x+3y+2z=9$ द्वारा निर्देशांक अक्षों पर बनाए गए अंतःखंडों के बराबर हैं,तो उस समतल का समीकरण है

बिंदु $(2, -1, -3)$ से गुजरने वाले और रेखाओं $\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{2} = \frac{z}{-4}$ और $\frac{x}{2} = \frac{y-1}{-3} = \frac{z-2}{2}$ के समानांतर समतल का समीकरण है

मान लीजिए $R^3$ त्रि-आयामी स्थान को दर्शाता है। दो बिंदु $P=(1, 2, 3)$ और $Q=(4, 2, 7)$ लें। मान लीजिए $\operatorname{dist}(X, Y)$ $R^3$ में दो बिंदुओं $X$ और $Y$ के बीच की दूरी को दर्शाता है। मान लीजिए
$S=\{X \in R^3: (\operatorname{dist}(X, P))^2 - (\operatorname{dist}(X, Q))^2 = 50\}$
$T=\{Y \in R^3: (\operatorname{dist}(Y, Q))^2 - (\operatorname{dist}(Y, P))^2 = 50\}$
तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ (सत्य) है?
$(A)$ एक ऐसा त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल $1$ है और जिसके सभी शीर्ष $S$ से हैं।
$(B)$ $T$ में दो अलग-अलग बिंदु $L$ और $M$ हैं ताकि रेखाखंड $LM$ पर प्रत्येक बिंदु भी $T$ में हो।
$(C)$ $48$ परिधि वाले अनंत आयत हैं,जिनके दो शीर्ष $S$ से हैं और अन्य दो शीर्ष $T$ से हैं।
$(D)$ $48$ परिधि वाला एक वर्ग है,जिसके दो शीर्ष $S$ से हैं और अन्य दो शीर्ष $T$ से हैं।

एक चर समतल एक निश्चित बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ से होकर गुजरता है और निर्देशांक अक्षों को $A, B$ और $C$ पर मिलता है। मान लीजिए $P_1, P_2$ और $P_3$ वे समतल हैं जो $A, B, C$ से होकर गुजरते हैं और क्रमशः निर्देशांक समतलों $YZ, ZX, XY$ के समानांतर हैं। तब,समतलों $P_1, P_2$ और $P_3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ क्या है?

एक समतल एक निश्चित बिंदु $A(1, -2, 3)$ से होकर गुजरता है। यदि बिंदु $B(0, 1, 2)$ से उस पर डाले गए लंब के पाद का बिंदुपथ $x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0$ है,तो $\alpha + \beta + \gamma + \delta$ का मान ज्ञात कीजिए।