$P$ प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त $3x^{2} + 4y^{2} = 48$ के नाभिलंब का एक सिरा है। $P$ का उत्केंद्र कोण क्या है?

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ की उस जीवा की लंबाई,जिसका मध्य-बिंदु $(1, \frac{2}{5})$ है,किसके बराबर है?

माना $E_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a > b$ है। माना $E_{2}$ एक अन्य दीर्घवृत्त है जो $E_{1}$ के दीर्घ अक्ष के अंतिम बिंदुओं को स्पर्श करता है और $E_{2}$ की नाभियाँ $E_{1}$ के लघु अक्ष के अंतिम बिंदु हैं। यदि $E_{1}$ और $E_{2}$ की उत्केंद्रता $e$ समान है,तो $e$ का मान है:

दीर्घवृत्त $9x^2 + 5y^2 - 30y = 0$ के दीर्घ अक्ष के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के समीकरण हैं:

मान लीजिए $A = \{(x, y) : y = mx + 1\}$,$B = \{(x, y) : x^2 + 4y^2 = 1\}$,और $C = \{(\alpha, \beta) : (\alpha, \beta) \in A \text{ और } (\alpha, \beta) \in B \text{ और } \alpha > 0\}$ है। यदि समुच्चय $C$ एक एकल समुच्चय (singleton set) है,तो $m$ के सभी संभावित मानों का योग क्या है?

मान लीजिए कि एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a < b$, बिंदु $(4, 3)$ से होकर गुजरता है और इसकी उत्केंद्रता $\frac{\sqrt{5}}{3}$ है। तो इसके नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए: