$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x - \sin x}}{{{x^3}}} = $

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\sqrt{\cos x}}{\tan ^2 \frac{x}{2}}$

नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन $I$: $\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\tan ^{-1} x + \log _e \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} - 2x}{x^5} \right) = \frac{2}{5}$
कथन $II$: $\lim _{x \rightarrow 1} \left( x^{\frac{2}{1-x}} \right) = \frac{1}{e^2}$
उपरोक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

माना सभी $x > 0$ के लिए, $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1)$, तो

यदि $\lim_{x \to 0} \frac{(4^x - 1)^3}{\tan(\frac{x}{4}) \log(1 + \frac{x^2}{3})} = 96(\log a)^b$, तो $(a + b) = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{(x + 1)}^{10}} + {{(x + 2)}^{10}} + \dots + {{(x + 100)}^{10}}}}{{{x^{10}} + {{10}^{10}}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।