વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ mathbb{R} પર એક સંબંધ r | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) અહીં સંબંધ $\rho$ ને $x \rho y \iff xy > 0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરેલ છે.$(i)$ સ્વવાચક: જો $\rho$ સ્વવાચક હોય, તો દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $x \rh

Vedclass · Accepted Answer

$\rho$ સંમિત અને પરંપરિત છે

Vedclass · Answer

(C) અહીં સંબંધ $ho$ ને $x ho y \iff xy > 0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરેલ છે.$(i)$ સ્વવાચક: જો $ho$ સ્વવાચક હોય, તો દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $x ho x$ સાચું હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $x \cdot x > 0$ અથવા $x^2 > 0$. આ $x = 0$ માટે ખોટું છે કારણ કે $0^2 = 0 
gtr 0$. તેથી, $ho$ સ્વવાચક નથી.(ii) સંમિત: જો $x ho y$ હોય, તો $xy > 0$ થાય. ગુણાકારના ક્રમના નિયમ મુજબ $yx > 0$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $y ho x$. તેથી, $ho$ સંમિત છે.(iii) પરંપરિત: ધારો કે $x ho y$ અને $y ho z$ છે. તો $xy > 0$ અને $yz > 0$ થાય. અહીં $y 
eq 0$ હોવું જોઈએ (કારણ કે $xy > 0$), તેથી $y^2 > 0$ થાય. અસમતાઓનો ગુણાકાર કરતા, આપણને $(xy)(yz) > 0$ મળે, જેનું સાદું રૂપ $y^2(xz) > 0$ થાય. કારણ કે $y^2 > 0$, તેથી $xz > 0$ હોવું જ જોઈએ. આમ, $x ho z$ થાય છે. તેથી, $ho$ પરંપરિત છે.નિષ્કર્ષ: સંબંધ સંમિત અને પરંપરિત છે.

Similar Questions

ધારો કે $R = \{(a, a)\}$ એ ગણ $A$ પરનો સંબંધ છે,તો $R$ એ:

ગણ $A = \{4, 6, 8\}$ પર એક એવો સંબંધ આપો જે સ્વવાચક (reflexive) અને સંમિત (symmetric) હોય પરંતુ પરંપરિત (transitive) ન હોય.

ધારો કે $R_{1}$ અને $R_{2}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{R}$ પર વ્યાખ્યાયિત બે સંબંધો છે,જ્યાં $a R_{1} b \iff ab \geq 0$ અને $a R_{2} b \iff a \geq b$. તો:

જો $R_{1}$ અને $R_{2}$ એ ગણ $A$ પરના સામ્ય સંબંધો હોય,તો સાબિત કરો કે $R_{1} \cap R_{2}$ પણ એક સામ્ય સંબંધ છે.

પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણ $Z$ પર,સંબંધ $S$ આ રીતે વ્યાખ્યાયિત છે: $S = \{(x, y) \in Z \times Z : |x - y| < 1\}$. $S$ વિશે નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module