$\left|\begin{array}{ccc}x & 3x+2 & 2x-1 \\ 2x-1 & 4x & 3x+1 \\ 7x-2 & 17x+6 & 12x-1\end{array}\right|=0$ એ કયા કિસ્સામાં સાચું છે?

જો $\alpha, \beta, \gamma$ $(\alpha < \beta < \gamma)$ એ $x$ ની એવી કિંમતો હોય કે જેથી $\begin{vmatrix} x-2 & 0 & 1 \\ 1 & x+3 & 2 \\ 2 & 0 & 2x-1 \end{vmatrix} = 0$ એ એક સિંગ્યુલર શ્રેણિક (singular matrix) બને,તો $2\alpha + 3\beta + 4\gamma = $

જો $\left|\begin{array}{ccc}1+x & 1 & 1 \\ 1+y & 1+2 y & 1 \\ 1+z & 1+z & 1+3 z\end{array}\right| = 10 k x y z \left(3+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$ હોય,તો $k = \text{ . . . . . . }$ (જ્યાં $x, y, z \neq 0$ અને $3+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \neq 0$).

$\left|\begin{array}{rr}\sin 35^{\circ} & -\cos 35^{\circ} \\ \sin 55^{\circ} & \cos 55^{\circ}\end{array}\right|=$ . . . . . .

જો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ હોય અને તેના શિરોબિંદુઓ $(k, 0), (4, 0)$ અને $(0, 2)$ હોય,તો $k$ ની કિંમત . . . . . . છે.

નીચે આપેલા બિંદુઓ $(1,0), (6,0), (4,3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.