एक वक्र बिंदु $(3,2)$ से होकर गुजरता है जिसके लिए निर्देशांक अक्षों के बीच स्थित स्पर्श रेखा का खंड स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होता है। वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

एक शहर की जनसंख्या बढ़ने की दर उस समय मौजूद जनसंख्या के समानुपाती है। $40$ वर्षों की अवधि में जनसंख्या $30,000$ से बढ़कर $40,000$ हो गई। किसी भी समय $t$ पर जनसंख्या $P(t) = (a)(b)^{\frac{t}{40}}$ द्वारा दी गई है। तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या हैं?

एक कल्चर में बैक्टीरिया की वृद्धि की दर उपस्थित बैक्टीरिया की संख्या के समानुपाती है और प्रारंभिक समय $t = 0$ पर बैक्टीरिया की संख्या $1000$ है। $2$ घंटों में बैक्टीरिया की संख्या में $20\%$ की वृद्धि होती है। यदि $\frac{k}{\log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)}$ घंटों के बाद बैक्टीरिया की जनसंख्या $2000$ है,तो $\left(\frac{k}{\log_{e} 2}\right)^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $x dy + y dx = 0$ को संतुष्ट करने वाले और बिंदु $(2, 8)$ से गुजरने वाले शांकव का नाभिलंब (latus rectum) है:

एक वक्र के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल,संपर्क बिंदु और $(-4, -3)$ बिंदु को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल की दोगुनी है। वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि यह $(-2, 1)$ से होकर गुजरता है।

एक गोलाकार गुब्बारा अपने पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती दर से फैलता है। प्रारंभ में इसकी त्रिज्या $2 \text{ cm}$ है और $5 \text{ मिनट}$ बाद यह बढ़कर $7 \text{ cm}$ हो जाती है। $12 \text{ मिनट}$ बाद गोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा ($\text{ cm}^2$ में)?