एक वक्र पर किसी बिंदु P(x, y) पर स्पर्श रेखा | vedclass

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Question

(A) माना $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।माना $y' = \frac{dy}{dx}$। स्पर्श रेखा $Y - y = y'(X - x)$ है।बिंदु $A$ ($X$-अक्ष)

Vedclass · Accepted Answer

वक्र का अवकल समीकरण $3x \frac{dy}{dx} + y = 0$ है

Vedclass · Answer

(A) माना $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।माना $y' = \frac{dy}{dx}$। स्पर्श रेखा $Y - y = y'(X - x)$ है।बिंदु $A$ ($X$-अक्ष) के लिए, $Y = 0$ रखें: $-y = y'(X - x) \Rightarrow X = x - \frac{y}{y'}$। अतः, $A = \left(x - \frac{y}{y'}, 0\right)$।बिंदु $B$ ($Y$-अक्ष) के लिए, $X = 0$ रखें: $Y - y = y'(-x) \Rightarrow Y = y - xy'$। अतः, $B = (0, y - xy')$।दिया है $AP:BP = 3:1$। बिंदु $P(x, y)$ के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए जो $AB$ को $3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है:$x = \frac{1 \cdot (x - y/y') + 3 \cdot 0}{3 + 1} = \frac{x - y/y'}{4} \Rightarrow 4x = x - \frac{y}{y'} \Rightarrow 3x = -\frac{y}{y'} \Rightarrow 3xy' = -y \Rightarrow 3x \frac{dy}{dx} + y = 0$।यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।अवकल समीकरण को हल करने पर: $\frac{3 dy}{y} + \frac{dx}{x} = 0 \Rightarrow 3 \ln|y| + \ln|x| = C \Rightarrow \ln|xy^3| = C \Rightarrow xy^3 = k$।चूंकि यह $(1, 1)$ से गुजरता है, $1(1)^3 = k \Rightarrow k = 1$। वक्र $xy^3 = 1$ है।विकल्प $C$ की जाँच करें: यदि $x = 1/8$ है, तो $y^3 = 8 \Rightarrow y = 2$। अतः, वक्र $(1/8, 2)$ से गुजरता है।विकल्प $D$ की जाँच करें: $(1, 1)$ पर, $y' = -\frac{y}{3x} = -\frac{1}{3}$। अभिलंब की ढाल $= -\frac{1}{y'} = 3$।अभिलंब का समीकरण: $y - 1 = 3(x - 1) \Rightarrow y - 1 = 3x - 3 \Rightarrow 3x - y = 2$। विकल्प $D$ गलत है।

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