int frac{log sqrt{x}}{3 x} dx का मान ज्ञात की | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{\log \sqrt{x}}{3 x} dx$. गुणधर्म $\log \sqrt{x} = \log(x^{1/2}) = \frac{1}{2} \log x$ का उपयोग करने पर, समाकलन इस प्रकार होगा

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{3}(\log \sqrt{x})^2+C$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{\log \sqrt{x}}{3 x} dx$. गुणधर्म $\log \sqrt{x} = \log(x^{1/2}) = \frac{1}{2} \log x$ का उपयोग करने पर, समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int \frac{\frac{1}{2} \log x}{3 x} dx = \frac{1}{6} \int \frac{\log x}{x} dx$. माना $u = \log x$, तब $du = \frac{1}{x} dx$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{1}{6} \int u du = \frac{1}{6} \cdot \frac{u^2}{2} + C = \frac{u^2}{12} + C$. $u = \log x$ वापस रखने पर: $I = \frac{(\log x)^2}{12} + C$. वैकल्पिक रूप से, प्रतिस्थापन $t = \log \sqrt{x} = \frac{1}{2} \log x$ लेने पर, $dt = \frac{1}{2x} dx$, जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{x} dx = 2 dt$. $I = \int \frac{t}{3} (2 dt) = \frac{2}{3} \int t dt = \frac{2}{3} \cdot \frac{t^2}{2} + C = \frac{t^2}{3} + C = \frac{1}{3} (\log \sqrt{x})^2 + C$. अतः, सही विकल्प $A$ है।

$\int \frac{\log \sqrt{x}}{3 x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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