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Question

(A) दिया गया सीमा $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^2}}} + \dots + \frac{n}{{{n^2}}

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(A) दिया गया सीमा $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^2}}} + \dots + \frac{n}{{{n^2}}}} ight)$ है।योग से $\frac{1}{{{n^2}}}$ को बाहर निकालने पर:$= \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{{{n^2}}} (1 + 2 + 3 + \dots + n)$.प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:$= \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{n(n+1)}{2{n^2}}$.व्यंजक को सरल करने पर:$= \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{n^2 + n}{2n^2} = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} ight)$.जैसे $n 	o \infty$,$\frac{1}{n} 	o 0$:$= \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}$.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^2}}} + \dots + \frac{n}{{{n^2}}}} \right\}$ का मान क्या है?

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{x}{\tan^{-1} 2x} \right) = $

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = [x-3] + |x-4|$ द्वारा $x \in R$ के लिए परिभाषित किया गया है,तो $\lim_{x \rightarrow 3^{-}} f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} x^2 - 3, & 2 < x < 3 \\ 2x + 5, & 3 < x < 4 \end{cases}$ है,तो वह समीकरण जिसके मूल $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ और $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ हैं,क्या है?

यदि $\alpha, \beta$ द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं,तो $\lim_{x \to \alpha} \frac{1 - \cos(ax^2 + bx + c)}{(x - \alpha)^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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