int frac{(x + 1)}{x(1 + xe^x)^2} dx = | vedclass

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Question

(B) अंश और हर को $e^x$ से गुणा करें: $I = \int \frac{(x + 1)e^x}{xe^x(1 + xe^x)^2} dx$ माना $u = xe^x$, तब $du = (e^x + xe^x) dx = e^x(1 + x) dx$। इन्

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$\log \left( \frac{xe^x}{1 + xe^x} \right) + \frac{1}{(1 + xe^x)} + c$

Vedclass · Answer

(B) अंश और हर को $e^x$ से गुणा करें: $I = \int \frac{(x + 1)e^x}{xe^x(1 + xe^x)^2} dx$ माना $u = xe^x$, तब $du = (e^x + xe^x) dx = e^x(1 + x) dx$। इन्हें समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{du}{u(1 + u)^2}$ आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{u(1 + u)^2} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1 + u} + \frac{C}{(1 + u)^2}$ $1 = A(1 + u)^2 + Bu(1 + u) + Cu$ $u = 0$ के लिए, $A = 1$। $u = -1$ के लिए, $C = -1$। $u^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A + B = 0 \implies B = -1$। $I = \int \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{1 + u} - \frac{1}{(1 + u)^2} \right) du$ $I = \log|u| - \log|1 + u| + \frac{1}{1 + u} + c$ $I = \log \left| \frac{u}{1 + u} \right| + \frac{1}{1 + u} + c$ $u = xe^x$ प्रतिस्थापित करने पर: $I = \log \left( \frac{xe^x}{1 + xe^x} \right) + \frac{1}{1 + xe^x} + c$

$\int \frac{(x + 1)}{x(1 + xe^x)^2} dx =$

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