int {sqrt {{e^x} - 1} } dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int {\sqrt {{e^x} - 1} } dx$ है। ${e^x} - 1 = {t^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है ${e^x} = {t^2} + 1$। दोनों पक्षों का अवकलन करने

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$2\left[ {\sqrt {{e^x} - 1} - {{	an }^{ - 1}}\sqrt {{e^x} - 1} } ight] + c$

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(A) माना $I = \int {\sqrt {{e^x} - 1} } dx$ है। ${e^x} - 1 = {t^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है ${e^x} = {t^2} + 1$। दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें ${e^x} dx = 2t dt$ प्राप्त होता है,इसलिए $dx = \frac{2t}{t^2 + 1} dt$। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int t \cdot \frac{2t}{t^2 + 1} dt = \int \frac{2t^2}{t^2 + 1} dt$। अब,समाकल्य को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $I = \int \frac{2(t^2 + 1) - 2}{t^2 + 1} dt = \int \left( 2 - \frac{2}{t^2 + 1} ight) dt$। पद-दर-पद समाकलन करने पर: $I = 2t - 2 	an^{-1}(t) + c$। $t = \sqrt{e^x - 1}$ का मान वापस रखने पर: $I = 2\sqrt{e^x - 1} - 2 	an^{-1}(\sqrt{e^x - 1}) + c = 2\left[ \sqrt{e^x - 1} - 	an^{-1}(\sqrt{e^x - 1}) ight] + c$।

$\int {\sqrt {{e^x} - 1} } dx = $

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मान लीजिए $f(x) = \int x^3 \sqrt{3-x^2} dx$ है। यदि $5f(\sqrt{2}) = -4$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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