int_0^1 sqrt{frac{1-x}{1+x}} ,dx का मान ज्ञात | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \,dx$. समाकल्य का परिमेयकरण करने पर: $I = \int_0^1 \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} \cdot \frac{\sqrt{1-x}}

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$\left(\frac{\pi}{2} - 1\right)$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \,dx$. समाकल्य का परिमेयकरण करने पर: $I = \int_0^1 \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} \cdot \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}} \,dx = \int_0^1 \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$. समाकलन को अलग करने पर: $I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$. पहले भाग के लिए,$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \sin^{-1}(x)$. दूसरे भाग के लिए,$u = 1-x^2$ लेने पर,$du = -2x \,dx$ होगा,इसलिए $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = -\sqrt{1-x^2}$. निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $I = [\sin^{-1}(x)]_0^1 + [\sqrt{1-x^2}]_0^1$. $I = (\sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0)) + (\sqrt{1-1^2} - \sqrt{1-0^2})$. $I = (\frac{\pi}{2} - 0) + (0 - 1) = \frac{\pi}{2} - 1$.

$\int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$ को संतुष्ट करने वाले सतत फलनों $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ की संख्या क्या है?

मान लीजिए कि $f$ एक बहुपद फलन है, इस प्रकार कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x^{2}+1)=x^{4}+5x^{2}+2$ है। तो $\int_{0}^{3} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi / 2} \frac{\pi \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-1}^{2} {|x|\,dx} =$ ($/2$ में)

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