int_0^{pi /2} frac{cos x - sin x}{1 + sin x c | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{\cos x - \sin x}{1 + \sin x \cos x} \,dx$ .... $(i)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग क

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(C) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{\cos x - \sin x}{1 + \sin x \cos x} \,dx$ .... $(i)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \int_0^{\pi /2} \frac{\cos(\pi/2 - x) - \sin(\pi/2 - x)}{1 + \sin(\pi/2 - x)\cos(\pi/2 - x)} \,dx$चूंकि $\cos(\pi/2 - x) = \sin x$ और $\sin(\pi/2 - x) = \cos x$,इसलिए:$I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sin x - \cos x}{1 + \cos x \sin x} \,dx$ .... $(ii)$समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$I + I = \int_0^{\pi /2} \frac{\cos x - \sin x + \sin x - \cos x}{1 + \sin x \cos x} \,dx$$2I = \int_0^{\pi /2} \frac{0}{1 + \sin x \cos x} \,dx = 0$अतः,$I = 0$.

$\int_0^{\pi /2} \frac{\cos x - \sin x}{1 + \sin x \cos x} \,dx = $

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$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2 x}{1+\cos ^{2} x} d x=$

यदि $f(x) = f(2 - x)$ है,तो $\int_{0.5}^{1.5} xf(x) dx$ का मान क्या होगा?

$\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx = $

$\left|\frac{120}{\pi^3} \int_0^\pi \frac{x^2 \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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