int_{0}^{pi} x f(sin x) dx = | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx$  $(1)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I =

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$\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$

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(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx$  $(1)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) f(\sin(\pi - x)) dx$चूँकि $\sin(\pi - x) = \sin x$,इसलिए:$I = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) f(\sin x) dx$$I = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx - \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx$$I = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx - I$$2I = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx$$I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx$गुणधर्म $\int_{0}^{2a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ का उपयोग करने पर यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो:यहाँ $f(\sin(\pi - x)) = f(\sin x)$,इसलिए $\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx$$I = \frac{\pi}{2} 	imes 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx$$\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$अतः,$I = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$.

$\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx = $

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$\int_{0}^{\pi} \frac{x \tan x}{\sec x + \tan x} dx =$

निश्चित समाकल $\int_{-1/2}^{1/2} (\sin^{-1}(3x - 4x^3) - \cos^{-1}(4x^3 - 3x)) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $I_{1} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx$ और $I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{101} dx$ इस प्रकार है कि $I_{2} = \alpha I_{1}$,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि $f$,$[0,1]$ पर परिभाषित एक सतत फलन है,इस प्रकार कि $\int_0^1 f^2(x) dx = (\int_0^1 f(x) dx)^2$ है। तब,$f$ का परिसर

$\int_0^{\pi / 2} \log |\tan x+\cot x| \, dx=$

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