यदि I_{1} = int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx | vedclass

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Question

(A) हमें दिया गया है $I_{1} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx$ और $I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{101} dx$. हम $I_{2}$ को इस प्रकार लिख सकते है

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$\frac{5050}{5051}$

Vedclass · Answer

(A) हमें दिया गया है $I_{1} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx$ और $I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{101} dx$. हम $I_{2}$ को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50}) (1 - x^{50})^{100} dx$ $I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx - \int_{0}^{1} x^{50} (1 - x^{50})^{100} dx$ $I_{2} = I_{1} - \int_{0}^{1} x \cdot (x^{49} (1 - x^{50})^{100}) dx$ दूसरे समाकलन के लिए खंडशः समाकलन (Integration by Parts - $IBP$) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = x$ और $dv = x^{49} (1 - x^{50})^{100} dx$. तब $du = dx$ और $v = \int x^{49} (1 - x^{50})^{100} dx$. मान लीजिए $1 - x^{50} = t$,तो $-50x^{49} dx = dt$,इसलिए $x^{49} dx = -\frac{dt}{50}$. $v = \int t^{100} (-\frac{dt}{50}) = -\frac{t^{101}}{5050} = -\frac{(1 - x^{50})^{101}}{5050}$. $IBP$ लागू करने पर: $\int_{0}^{1} x \cdot (x^{49} (1 - x^{50})^{100}) dx = [x \cdot (-\frac{(1 - x^{50})^{101}}{5050})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (-\frac{(1 - x^{50})^{101}}{5050}) dx$ $= [0 - 0] + \frac{1}{5050} \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{101} dx = \frac{1}{5050} I_{2}$. इस मान को $I_{2}$ के समीकरण में रखने पर: $I_{2} = I_{1} - \frac{1}{5050} I_{2}$ $I_{2} (1 + \frac{1}{5050}) = I_{1}$ $I_{2} (\frac{5051}{5050}) = I_{1}$ $I_{2} = \frac{5050}{5051} I_{1}$. चूंकि $I_{2} = \alpha I_{1}$,इसलिए $\alpha = \frac{5050}{5051}$.

यदि $I_{1} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx$ और $I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{101} dx$ इस प्रकार है कि $I_{2} = \alpha I_{1}$,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\int_{-1}^{0} \frac{4x^2 + 4x + 3}{1 + e^{2x + 1}} dx = $

$\int_{-1}^3\left(\cot ^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) d x=$

$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1-\sin x \cos x} d x = $

$\int_{-3}^{3} \frac{x^2 \sin x}{1 + x^6} \, dx = $

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