int_{-1}^3left(cot ^{-1}left(frac{x}{x^2+1}ri | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{-1}^3 \left(\cot^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) dx$. हम जानते हैं कि $\cot^{-1}(u

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$2\pi$

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(D) माना $I = \int_{-1}^3 \left(\cot^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}ight) + \cot^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}ight)ight) dx$. हम जानते हैं कि $\cot^{-1}(u) = 	an^{-1}(\frac{1}{u})$ जब $u > 0$ हो। अतः,$\cot^{-1}(\frac{x}{x^2+1}) = 	an^{-1}(\frac{x^2+1}{x})$ जब $x > 0$ हो। साथ ही,$	an^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ सभी $u \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है। इस प्रकार,समाकल्य (integrand) $x 
eq 0$ के लिए $\frac{\pi}{2}$ हो जाता है। $I = \int_{-1}^3 \frac{\pi}{2} dx = \frac{\pi}{2} [x]_{-1}^3$. $I = \frac{\pi}{2} (3 - (-1)) = \frac{\pi}{2} (4) = 2\pi$.

$\int_{-1}^3\left(\cot ^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) d x=$

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$\int_0^2 x^8\left(\frac{4}{x^2}-1\right)^{5 / 2} d x=$

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} x \tan \left(1+x^2\right) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम (inverse) है और $f(x)$ का प्रांत (domain) $x \in [1, 5]$ है,जहाँ $f(1) = 2$ और $f(5) = 10$,तो $\int_{1}^{5} f(x) dx + \int_{2}^{10} g(y) dy$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-1/2}^{1/2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) dx=$

$\int_0^1 \frac{\log x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = $

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