int_0^{pi /2} frac{x sin x cos x}{cos^4 x + s | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} \frac{x \sin x \cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x} \, dx$ .....$(i)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{16}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} \frac{x \sin x \cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x} \, dx$ .....$(i)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_0^{\pi /2} \frac{(\frac{\pi}{2} - x) \cos x \sin x}{\sin^4 x + \cos^4 x} \, dx$ .....$(ii)$$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:$2I = \int_0^{\pi /2} \frac{\frac{\pi}{2} \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} \, dx$$I = \frac{\pi}{4} \int_0^{\pi /2} \frac{\sin x \cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x} \, dx$અંશ અને છેદને $\cos^4 x$ વડે ભાગતા:$I = \frac{\pi}{4} \int_0^{\pi /2} \frac{	an x \sec^2 x}{1 + 	an^4 x} \, dx$ધારો કે $	an^2 x = t$,તેથી $2 	an x \sec^2 x \, dx = dt$,એટલે કે $	an x \sec^2 x \, dx = \frac{1}{2} dt$. જ્યારે $x=0, t=0$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t 	o \infty$.$I = \frac{\pi}{4} \int_0^{\infty} \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{\pi}{8} [	an^{-1} t]_0^{\infty} = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{16}$.

$\int_0^{\pi /2} \frac{x \sin x \cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x} \, dx = $

Similar Questions

જો $F(x) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$,જ્યાં $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ હોય,તો $F(e) = $

જો $f:R \to R$ અને $g:R \to R$ એ એક-એક,વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતા વિધેયો હોય,તો સંકલન $\int_{-\pi}^{\pi} [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] \, dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

સંકલન $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \, dx}{\sin^4(2x) + \cos^4(2x)}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 0$ હોય,તો

$\int_0^{\pi /2} \frac{dx}{1 + \tan^3 x}$ નું મૂલ્ય શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module