int_{ - 3}^3 {frac{{{x^2}sin 2x}}{{{x^2} + 1} | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = \frac{{{x^2}\sin 2x}}{{{x^2} + 1}}$.$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि फलन विषम है या सम:$f(-x) = \frac{{{{( - x)}^2}\sin (2( - x))}

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(A) माना $f(x) = \frac{{{x^2}\sin 2x}}{{{x^2} + 1}}$.$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि फलन विषम है या सम:$f(-x) = \frac{{{{( - x)}^2}\sin (2( - x))}}{{{{( - x)}^2} + 1}} = \frac{{{x^2}\sin ( - 2x)}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{ - {x^2}\sin 2x}}{{{x^2} + 1}} = -f(x)$.चूँकि $f(-x) = -f(x)$,फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{ - a}^a {f(x)\,dx = 0}$ होता है।अतः,$\int_{ - 3}^3 {\frac{{{x^2}\sin 2x}}{{{x^2} + 1}}\,dx = 0}$.

List-$I$	List-$II$
$I. \int_{-1}^1 x\|x\| dx$	$(a) \frac{\pi}{2}$
$II. \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right)\right) dx$	$(b) \int_0^a 2f(x) dx$
$III. \int_0^a f(x) dx$	$(c) \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$
$IV. \int_{-a}^a f(x) dx$	$(d) 0$
	$(e) \int_0^a f(a-x) dx$

$\int_{ - 3}^3 {\frac{{{x^2}\sin 2x}}{{{x^2} + 1}}\,dx = } $

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$\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{1+\sqrt{\cot x}} = $ . . . . . . .

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