यदि $g(x) = \int_0^x \cos^4 t \,dt$ है, तो $g(x+\pi)$ का मान क्या होगा?

यदि $I_1 = \int_0^{3 \pi} f(\cos^2 x) dx$ और $I_2 = \int_0^\pi f(\cos^2 x) dx$ है, तो

मान लीजिए कि फलन $F$ को $F(x) = \int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t} dt, x > 0$ के रूप में परिभाषित किया गया है। तो समाकलन $\int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t+a} dt$,जहाँ $a > 0$,का मान क्या है?

$\int_0^{1/2} |\sin(4\pi x)| \, dx =$

मान लीजिए $f(x)$ अंतराल $[0,2]$ पर परिभाषित एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in (0,2)$ के लिए $f^{\prime}(x) = f^{\prime}(2-x)$,$f(0) = 1$ और $f(2) = e^{2}$ है। तो $\int_{0}^{2} f(x) dx$ का मान ..... है।

निम्नलिखित गणितीय कथनों को ध्यानपूर्वक पढ़ें:
$I.$ $x = c$ पर उच्चतम मान रखने वाला अवकलनीय फलन $f$ $\implies f''(c) < 0$.
$II.$ एक आवर्ती फलन का प्रति-अवकलज (antiderivative) भी एक आवर्ती फलन होता है।
$III.$ यदि $f$ का आवर्तकाल $T$ है,तो किसी भी $a \in R$ के लिए,$\int\limits_0^T {f(x)\,dx} = \int\limits_0^T {f(x + a)\,dx}$.
$IV.$ यदि $f(x)$ का $x = c$ पर उच्चिष्ठ (maxima) है,तो $h \to 0$ $(h > 0)$ के लिए $f$,$(c - h, c)$ में वर्धमान और $(c, c + h)$ में ह्रासमान है। अब सही विकल्प चुनें।