मान लीजिए f(x) अंतराल [0,2] पर परिभाषित एक अव | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f^{\prime}(x) = f^{\prime}(2-x)$। $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $f(x) = -f(2-x) + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर

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$1+e^{2}$

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(B) दिया गया है कि $f^{\prime}(x) = f^{\prime}(2-x)$। $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $f(x) = -f(2-x) + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(x) + f(2-x) = C$।$x=0$ रखने पर,$f(0) + f(2) = C$। दिया गया है कि $f(0) = 1$ और $f(2) = e^{2}$,इसलिए $C = 1 + e^{2}$।अतः,$f(x) + f(2-x) = 1 + e^{2}$।मान लीजिए $I = \int_{0}^{2} f(x) dx$। गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें $I = \int_{0}^{2} f(2-x) dx$ प्राप्त होता है।$I$ के लिए दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर,$2I = \int_{0}^{2} (f(x) + f(2-x)) dx$।योग को प्रतिस्थापित करने पर,$2I = \int_{0}^{2} (1 + e^{2}) dx = (1 + e^{2}) [x]_{0}^{2} = 2(1 + e^{2})$।इसलिए,$I = 1 + e^{2}$।

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समाकलन $\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left([x] + \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right) dx$,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,का मान क्या है?

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