int_0^pi x log(sin x) , dx = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^\pi x \log(\sin x) \, dx$ ..... $(i)$ गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi (\p

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$\frac{\pi^2}{2} \log(\frac{1}{2})$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_0^\pi x \log(\sin x) \, dx$ ..... $(i)$ गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi (\pi - x) \log(\sin(\pi - x)) \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \log(\sin x) \, dx$ ..... $(ii)$ $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $2I = \int_0^\pi (x + \pi - x) \log(\sin x) \, dx = \pi \int_0^\pi \log(\sin x) \, dx$ गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो: $2I = 2\pi \int_0^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx$ $I = \pi \int_0^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx$ हम जानते हैं कि $\int_0^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2} \log 2 = \frac{\pi}{2} \log(\frac{1}{2})$. अतः,$I = \pi \left( \frac{\pi}{2} \log(\frac{1}{2}) \right) = \frac{\pi^2}{2} \log(\frac{1}{2})$.

$\int_0^\pi x \log(\sin x) \, dx = $

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$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^5-x^3 \cos x+\sin^3 x-3) \, dx = $ . . . . . .

यदि $f(a+b+1-x)=f(x)$ सभी $x$ के लिए है,जहाँ $a$ और $b$ निश्चित धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} x(f(x)+f(x+1)) dx$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $I_n = \int_0^{\pi / 2} x^n \cos x \, dx$,जहाँ $n$ एक अ-ऋणात्मक पूर्णांक है। तो,$\sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{I_n}{n!} + \frac{I_{n-2}}{(n-2)!} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^\infty \frac{\log(1 + x^2)}{1 + x^2} \,dx = $

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