यदि f(a+b+1-x)=f(x) सभी x के लिए है,जहाँ a और | vedclass

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Question

(D) माना $I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} x(f(x)+f(x+1)) dx \quad \dots(1)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:$

Vedclass · Accepted Answer

$\int_{a-1}^{b-1} f(x) dx$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} x(f(x)+f(x+1)) dx \quad \dots(1)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} (a+b-x)(f(a+b-x)+f(a+b-x+1)) dx$दिया गया है $f(a+b+1-x) = f(x)$,इसलिए $f(a+b-x) = f(x+1)$.अतः,$I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} (a+b-x)(f(x+1)+f(x)) dx \quad \dots(2)$$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$2I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} (a+b)(f(x)+f(x+1)) dx = \int_{a}^{b} (f(x)+f(x+1)) dx$चूँकि $f(a+b+1-x) = f(x)$,$t = a+b+1-x$ लेने पर,$dt = -dx$. जब $x=a, t=b+1$; जब $x=b, t=a+1$.$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a+1}^{b+1} f(a+b+1-t) dt = \int_{a+1}^{b+1} f(t) dt$.अतः,$2I = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} f(x+1) dx = \int_{a+1}^{b+1} f(x+1) dx + \int_{a}^{b} f(x+1) dx$. इसका सरलीकरण $I = \int_{a}^{b} f(x+1) dx = \int_{a-1}^{b-1} f(x) dx$ है।

यदि $f(a+b+1-x)=f(x)$ सभी $x$ के लिए है,जहाँ $a$ और $b$ निश्चित धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} x(f(x)+f(x+1)) dx$ का मान क्या होगा?

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