જો f(a+b+1-x)=f(x) તમામ x માટે હોય,જ્યાં a અન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} x(f(x)+f(x+1)) dx \quad \dots(1)$ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$

Vedclass · Accepted Answer

$\int_{a-1}^{b-1} f(x) dx$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} x(f(x)+f(x+1)) dx \quad \dots(1)$ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} (a+b-x)(f(a+b-x)+f(a+b-x+1)) dx$આપેલ છે કે $f(a+b+1-x) = f(x)$,તેથી $f(a+b-x) = f(x+1)$.આમ,$I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} (a+b-x)(f(x+1)+f(x)) dx \quad \dots(2)$$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:$2I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} (a+b)(f(x)+f(x+1)) dx = \int_{a}^{b} (f(x)+f(x+1)) dx$$f(a+b+1-x) = f(x)$ હોવાથી,$t = a+b+1-x$ લેતા,$dt = -dx$. જ્યારે $x=a, t=b+1$; જ્યારે $x=b, t=a+1$.$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a+1}^{b+1} f(a+b+1-t) dt = \int_{a+1}^{b+1} f(t) dt$.આમ,$2I = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} f(x+1) dx = \int_{a+1}^{b+1} f(x+1) dx + \int_{a}^{b} f(x+1) dx$. આનું સાદું રૂપ $I = \int_{a}^{b} f(x+1) dx = \int_{a-1}^{b-1} f(x) dx$ થાય છે.

જો $f(a+b+1-x)=f(x)$ તમામ $x$ માટે હોય,જ્યાં $a$ અને $b$ નિશ્ચિત ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તો $\frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} x(f(x)+f(x+1)) dx$ ની કિંમત શું થાય?

Similar Questions

$x \in (0, \pi/2)$ માટે $\int_{0}^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$ ની કિંમત શોધો.

જો $x > 0$ માટે,$f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ હોય,તો $f(e) + f\left(\frac{1}{e}\right)$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\left(1+e^{x \cos x}\right)\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

સંકલન $\int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right) d \theta$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module