int_{0}^{1} tan ^{-1}left(frac{2 x-1}{1+x-x^{ | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{1} 	an ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}ight) d x$. हम $	an^{-1}$ फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{2x-1}{1+x

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$0$

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(B) माना $I = \int_{0}^{1} 	an ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}ight) d x$. हम $	an^{-1}$ फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{2x-1}{1+x-x^2} = \frac{x + (x-1)}{1 - x(x-1)}$. सर्वसमिका $	an^{-1}(A) + 	an^{-1}(B) = 	an^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}ight)$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_{0}^{1} (	an^{-1}(x) + 	an^{-1}(x-1)) d x$. गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करते हुए,माना $f(x) = 	an^{-1}(x-1)$. अतः $\int_{0}^{1} 	an^{-1}(x-1) d x = \int_{0}^{1} 	an^{-1}((1-x)-1) d x = \int_{0}^{1} 	an^{-1}(-x) d x = -\int_{0}^{1} 	an^{-1}(x) d x$. इस मान को समाकलन में वापस रखने पर: $I = \int_{0}^{1} 	an^{-1}(x) d x - \int_{0}^{1} 	an^{-1}(x) d x = 0$.

$\int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}\right) d x$ का मान है

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