यदि int_{ - a}^a {sqrt {frac{{a - x}}{{a + x} | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{ - a}^a {\sqrt {\frac{{a - x}}{{a + x}}} dx} $. इसका मूल्यांकन करने के लिए,हम $x = a \cos 	heta$ प्रतिस्थापित करते हैं। तब $dx =

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$a$

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(D) माना $I = \int_{ - a}^a {\sqrt {\frac{{a - x}}{{a + x}}} dx} $. इसका मूल्यांकन करने के लिए,हम $x = a \cos 	heta$ प्रतिस्थापित करते हैं। तब $dx = -a \sin 	heta \, d	heta$. जब $x = -a$,तो $\cos 	heta = -1$,इसलिए $	heta = \pi$. जब $x = a$,तो $\cos 	heta = 1$,इसलिए $	heta = 0$. $I = \int_{\pi}^0 \sqrt{\frac{a - a \cos 	heta}{a + a \cos 	heta}} (-a \sin 	heta) \, d	heta$. $I = \int_0^{\pi} \sqrt{\frac{1 - \cos 	heta}{1 + \cos 	heta}} (a \sin 	heta) \, d	heta$. अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\sqrt{\frac{1 - \cos 	heta}{1 + \cos 	heta}} = \sqrt{\frac{2 \sin^2(	heta/2)}{2 \cos^2(	heta/2)}} = 	an(	heta/2)$. $I = a \int_0^{\pi} 	an(	heta/2) \cdot 2 \sin(	heta/2) \cos(	heta/2) \, d	heta$. $I = 2a \int_0^{\pi} \frac{\sin(	heta/2)}{\cos(	heta/2)} \cdot \sin(	heta/2) \cos(	heta/2) \, d	heta$. $I = 2a \int_0^{\pi} \sin^2(	heta/2) \, d	heta$. $\sin^2(	heta/2) = \frac{1 - \cos 	heta}{2}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $I = 2a \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos 	heta}{2} \, d	heta = a [	heta - \sin 	heta]_0^{\pi} = a(\pi - 0) = a\pi$. $a\pi$ की तुलना $k\pi$ से करने पर,हमें $k = a$ प्राप्त होता है।

यदि $\int_{ - a}^a {\sqrt {\frac{{a - x}}{{a + x}}} \,dx = k\pi ,} $ है,तो $k = $

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