intlimits_{-1}^{1} frac{x^4}{1 + e^{x^7}} dx | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{-1}^{1} \frac{x^4}{1 + e^{x^7}} dx$. गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{-1}^{1

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{5}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_{-1}^{1} \frac{x^4}{1 + e^{x^7}} dx$. गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{-1}^{1} \frac{(-x)^4}{1 + e^{(-x)^7}} dx = \int_{-1}^{1} \frac{x^4}{1 + e^{-x^7}} dx$. अंश और हर को $e^{x^7}$ से गुणा करने पर: $I = \int_{-1}^{1} \frac{x^4 e^{x^7}}{e^{x^7} + 1} dx$. $I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_{-1}^{1} \frac{x^4}{1 + e^{x^7}} dx + \int_{-1}^{1} \frac{x^4 e^{x^7}}{1 + e^{x^7}} dx = \int_{-1}^{1} \frac{x^4(1 + e^{x^7})}{1 + e^{x^7}} dx$. $2I = \int_{-1}^{1} x^4 dx$. चूँकि $x^4$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_{0}^{1} x^4 dx$. $I = \int_{0}^{1} x^4 dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5} - 0 = \frac{1}{5}$.

$\int\limits_{-1}^{1} \frac{x^4}{1 + e^{x^7}} dx = $

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$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\tan^4 x} dx = $ . . . . . . .

$\int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} dx =$

मान लीजिए $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx$. निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$. $J > \frac{1}{4}$
$II$. $J < \frac{\pi}{8}$
तो,

यदि $f(a + b - x) = f(x)$ है,तो $\int_{a}^{b} x f(x) dx$ किसके बराबर है?

$\int_{0}^{1} x(1 - x)^{5} dx = . . . . . .$

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