मान लीजिए J = int_0^1 frac{x}{1+x^8} dx. निम् | vedclass

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Question

(A) $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम कथनों का विश्लेषण करते हैं।कथन $I$ के लिए:चूंकि सभी $x \in (0, 1)$ के लिए $1+x^8 < 2

Vedclass · Accepted Answer

केवल $I$ सत्य है

Vedclass · Answer

(A) $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम कथनों का विश्लेषण करते हैं।कथन $I$ के लिए:चूंकि सभी $x \in (0, 1)$ के लिए $1+x^8  \frac{1}{2}$ है।$x > 0$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x}{1+x^8} > \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर:$J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx > \int_0^1 \frac{x}{2} dx = \left[ \frac{x^2}{4} ight]_0^1 = \frac{1}{4}$.अतः,कथन $I$ सत्य है।कथन $II$ के लिए:$x \in (0, 1)$ के लिए $x^8 अतः $\frac{1}{1+x^8} > \frac{1}{1+x^4}$।तब $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx > \int_0^1 \frac{x}{1+x^4} dx$।मान लीजिए $u = x^2$,$du = 2x dx$। तो $\int_0^1 \frac{x}{1+x^4} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{du}{1+u^2} = \frac{1}{2} [	an^{-1}(u)]_0^1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}$।चूंकि $J > \frac{\pi}{8}$,कथन $II$ असत्य है।इसलिए,केवल $I$ सत्य है।

मान लीजिए $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx$. निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$. $J > \frac{1}{4}$
$II$. $J < \frac{\pi}{8}$
तो,

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$\frac{8}{\pi} \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\cos x)^{2023}}{(\sin x)^{2023}+(\cos x)^{2023}} dx$ का मान $.............$ है।

$\int_0^\pi \sin^{50} x \cos^{49} x \, dx$ का मान है

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} x}{\sin ^{1000} x+\cos ^{1000} x} \, dx $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $g(x) = \int_0^x \cos^4 t \,dt$ है, तो $g(x+\pi)$ का मान क्या होगा?

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मान लीजिए $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx$. निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:$I$. $J > \frac{1}{4}$$II$. $J < \frac{\pi}{8}$तो,