मान लीजिए I = int_{0}^{1} frac{x^{3} cos 3x}{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{3} \cos 3x}{2+x^{2}} dx$. चूंकि $-1 \leq \cos 3x \leq 1$, इसलिए $-x^{3} \leq x^{3} \cos 3x \leq x^{3}$ है।

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$-\frac{1}{2} < I < \frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{3} \cos 3x}{2+x^{2}} dx$. चूंकि $-1 \leq \cos 3x \leq 1$, इसलिए $-x^{3} \leq x^{3} \cos 3x \leq x^{3}$ है। $2+x^{2} > 0$ से भाग देने पर, $\frac{-x^{3}}{2+x^{2}} \leq \frac{x^{3} \cos 3x}{2+x^{2}} \leq \frac{x^{3}}{2+x^{2}}$ प्राप्त होता है। $x \in [0, 1]$ के लिए $2+x^{2} > x^{2}$ है, इसलिए $\frac{x^{3}}{2+x^{2}} अतः, $-\int_{0}^{1} x dx समाकलन करने पर, $-\left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1} जिससे $-\frac{1}{2} < I < \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{3} \cos 3x}{2+x^{2}} dx$. तो

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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_0^\pi \frac{x \cos^2 x}{1+\sin x} dx$

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