निम्नलिखित गणितीय कथनों को ध्यानपूर्वक पढ़ें: | vedclass

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Question

(A) $I.$ फलन $f(x) = -x^4$ पर विचार करें। तब $f'(x) = -4x^3$ और $f''(x) = -12x^2$ होगा।यहाँ $f(x)$ का $x = 0$ पर उच्चिष्ठ है लेकिन $f''(0) = 0$ है। अत

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केवल एक कथन सही है।

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(A) $I.$ फलन $f(x) = -x^4$ पर विचार करें। तब $f'(x) = -4x^3$ और $f''(x) = -12x^2$ होगा।यहाँ $f(x)$ का $x = 0$ पर उच्चिष्ठ है लेकिन $f''(0) = 0$ है। अतः,कथन $I$ गलत है।$II.$ $f(x) = \cos x + 1$ पर विचार करें,जो $2\pi$ आवर्तकाल वाला आवर्ती फलन है। लेकिन $\int (\cos x + 1)\,dx = \sin x + x + C$ एक आवर्ती फलन नहीं है। अतः,कथन $II$ गलत है।$III.$ $\int\limits_0^T {f(x + a)\,dx}$ के लिए,$x + a = y$ लें। तब समाकलन $\int\limits_a^{a + T} {f(y)\,dy}$ हो जाता है।आवर्ती फलनों के गुणधर्म के अनुसार $\int\limits_a^{a+T} f(y) dy = \int\limits_0^T f(y) dy$ होता है,इसलिए यह कथन सही है।$IV.$ यह कथन तभी सत्य है यदि $f$,$x = c$ पर सतत हो। फलन $f(x) = \begin{cases} x & 	ext{यदि } x > 0 \ 1 & 	ext{यदि } x = 0 \ -x & 	ext{यदि } x इस फलन का $x = 0$ पर उच्चिष्ठ है,लेकिन यह समस्या में दी गई शर्तों को पूरा नहीं करता है। अतः,कथन $IV$ गलत है।निष्कर्ष: केवल कथन $III$ सही है। इसलिए,केवल एक कथन सही है।

List-$I$	List-$II$
$I. \int_{-1}^1 x\|x\| dx$	$(a) \frac{\pi}{2}$
$II. \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right)\right) dx$	$(b) \int_0^a 2f(x) dx$
$III. \int_0^a f(x) dx$	$(c) \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$
$IV. \int_{-a}^a f(x) dx$	$(d) 0$
	$(e) \int_0^a f(a-x) dx$

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